Question

【题目】已知 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 时， .若 在 上有5个根 ，则 的值是（ ）
A.10
B.9
C.8
D.7

Answer 1

【答案】A
【解析】令 ，则方程可化为 ，依据题设问题转化为该方程有一个正实数根和一个负实数根。因为若该方程有两个正实数根，则原方程会有对应的八个实数根，所以要使原方程有五个实数根，须该方程有一个正实数根 和一个实数根 。运用题设条件可得 ，则函数 是周期 的周期函数。依据周期性与对称性画出该函数在区间 上的图象如上图，结合图形可以看出：当该方程有一个正实数根时，其所有根（共4根）之和为 ，当有一个负实数根 时，原方程只有一个根 ，故原方程的所有实数根之和为 ， 故答案为：A。

根据题设条件中的函数构成的方程有五个根，利用函数图像的对称性、奇偶性、作出函数在区间 [ 1 , 5 ] 上的图象，然后再借助对称性分析探求根的和即可得出结果。