Question

【题目】如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA1=4．

（1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB1中点M，连接EM、FM

∵△AB1B中，M、F分别是AB、AB1的中点，

∴MF∥B1B且MF= B1B，

又∵矩形BB1C1C中，CE∥B1B且CE= B1B，

∴MF∥CE且MF=CE，可得四边形MFCE是平行四边形

∴CF∥EM

∵CF平面EAB1，EM平面EAB1，

∴CF∥平面AEB1

（2）解：以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系，

可得A（2，0，0），B1（0，2，4），设CE=m，得E（0，0，m）

∴ =（﹣2，0，m）， =（﹣2，2，4）

设平面AEB1的法向量为 =（x，y，z）

则有 ，解之并取z=2，得 =（m，m﹣4，2）

∵平面EB1B的法向量为 =（2，0，0），

∴当二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°时，有

cos＜ ， ＞= = ，解之得m= ．

因此，在棱CC1上存在点E，当CE= 时，二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°．

【解析】（1）根据题意作出辅助线，由已知条件可得线线平行进而得出直线与平面平行。（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出各个点以及向量的坐标，设出平面AEB1的法向量再根据法向量和向量AE的数量积等于零求出法向量的坐标，再根据数量积的运算公式结合二面角A﹣EB1﹣B的大小求出余弦值进而得到m的值，即可得证点E的存在。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．