Question

（2012•河东区一模）若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，则直线l的斜率的取值区间为

[2-

3

，2+

3

]

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据圆上至少有三个不同的点到直线l的距离等于2

2

，得到圆心到直线的距离小于等于

2

，利用点到直线的距离公式列出不等式，整理后求出

a

b

的取值范围，根据直线的斜率k=-

a

b

，即可得出斜率k的取值范围．

解答：解：圆x²+y²-4x-4y-10=0整理为 (x-2)2+(y-2)2=(3

2

)2，
∴圆心坐标为（2，2），半径为3

2

，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，
则圆心到直线的距离应小于等于

2

，
∴

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
∴(

a

b

)2+4(

a

b

)+1≤0，
∴-2-

3

≤

a

b

≤-2+

3

，又k=-

a

b

，
∴2-

3

≤k≤2+

3

，
则直线l的斜率的取值区间为[2-

3

，2+

3

]．
故答案为：[2-

3

，2+

3

]

点评：此题考查了直线和圆的位置关系，直线与圆相交的性质等知识，要求学生掌握圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，其中根据题意得出圆心到直线的距离应小于等于

2

是解本题的关键．