Question

【题目】如图，在梯形中，，，为的中点，是与的交点，将沿翻折到图中的位置，得到四棱锥．

（1）求证：；

（2）当，时，求到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）在图中，证明四边形为菱形，可得出，由翻折的性质得知在图中，，，利用直线与平面垂直的判定定理证明出平面，可得出，并证明出四边形为平行四边形，可得出，由此得出；

（2）解法一：由（1）可知平面，结合，可得出平面，由此得出点到平面的距离为的长度，求出即可；

解法二：证明出平面，可计算出三棱锥的体积，并设点与面的距离为，并计算出的面积，利用三棱锥的体积和三棱锥的体积相等计算出的值，由此可得出点到平面的距离.

（1）图中，在四边形中，，，

四边形为平行四边形.

又，四边形为菱形，，，

在图中，，，又，面．

平面，.

又在四边形中，，，

四边形为平行四边形，，；

（2）法一：由（1）可知面，且，平面，

的长度即为点到平面的距离，

由（1）已证四边形为平行四边形，所以，

因此，点到平面的距离为；

解法二：连接，，，，

，，，.

又，平面．

设点与面的距离为，，

即，，，．