Question

已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.
（Ⅰ）求常数的值；
（Ⅱ）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明:.

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）实数的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）求常数的值，由函数(是常数)在处的切线方程为，只需对求导，让它的导数在处的值即为切线的斜率，这样能得到的一个关系式，由，代入函数中，又得到的一个关系式，因为三个参数，需再找一个关系式，，注意到在切线上，可代入切线方程得到的一个关系式，三式联立方程组即可，解此类题，关键是找的关系式，有几个参数，需找几个关系式；（Ⅱ）若函数()在区间内不是单调函数，即它的导函数在区间内不恒正或恒负，即在区间内有极值点，而，只要在区间内有解，从而转化为二次函数根的分布问题，分两种情况：在区间内有一解，在区间内有两解，结合二次函数图像，从而求出实数的取值范围；（Ⅲ）证明:，注意到 ，只需证明在上即可，即，而，只需证明在上即可，而，即，只需证在上为减函数，这很容易证出，此题构思巧妙，考查知识点多，学科知识点融合在一起，的确是一个好题，起到把关题作用．
试题解析：（Ⅰ）由题设知，的定义域为,, 因为在处的切线方程为，所以,且，即,且， 又 ，解得，，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因此，，     
所以，令. （ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有. （ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，所以，解得.      综上，实数的取值范围是．
（Ⅲ）因为，所以当时，有，所以在上为减函数，因此当时, ，即， 即当时, ， 所以对一切都成立，所以， ， ， …， ，所以 ， 所以.