Question

【题目】对于任意给定的无理数及实数，圆周上的有理点的个数情况是（）

A. 至多一个 B. 至多两个 C. 至少两个，个数有限 D. 无数多个

Answer 1

【答案】B

【解析】

对于点，用表示上述圆周上有理点的个数.

首先，作一个符合条件的圆，其上至少有两个有理点.

为此，取点，线段中垂线的方程为.在垂线上取点，再取.则以为圆心、为半径的圆周上至少有这两个有理点.

其次，说明对于任何无理点以及任意正实数，都有.

为此，假设有无理点及正实数，在以为圆心、为半径的圆周上至少有三个有理点（为有理数，）.则

.

据前一等式得，①

据后一等式得.②

则为有理数.

若，则由式①得.

由为无理数得.

故共点，矛盾.

同理，若，可得共点，矛盾.

若，，由式①、②消去得

为有理数.

因为无理数，所以，.

从而，.

则三点共线，这与三点共圆矛盾.

因此，所设不真，即这种圆上至多由两个有理点.

于是，对于所有的无理点及所有正实数，的最大值为2. 选B.