Question

【题目】已知函数．

若，，试证明：当时，；

若对任意，均有两个极值点，

试求b应满足的条件；

当时，证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2），.见解析

【解析】

（1）求出导数，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论．

（2）首先＝0有两个不等的实根，再用导数研究的性质，求导，利用的正负确定的单调性及最小值点，在时，计算出 ，由零点存在定理可得存在两个零点，即有两个极值点；当时，可取，此时没有零点极值点；

由知，，为的两个实数根，由于，可判断出两零点一正一负，即，且在递减，为证题中不等式，先做一些准备工作，下面先证，只需证明，注意到得，从而，下面再用导数的知识证明；由函数单调性得，问题转化为只需证明，

即证明，这再用导数加以证明．

证明：，，，

，，

令，解得．

可得：时，函数取得极小值即最小值，

，

函数在当时单调递增，．

当时，．

，．

设，则，

，，，，

故在递减，在递增，

故至多有2个零点；

当时，，，

，且，

又，

由可知，

是R上的连续函数，

在，上各有1个零点，，

此时，，为函数的2个不同的极值点，

故符合题意；

当时，取，则在递减，在递增，

故，

故时，，

故函数递增，没有极值点，不合题意，

综上，当时，对任意，均有2个极值点；

由知，，为的两个实数根，

，，在递减，

下面先证，只需证明，

得，

，

设，，

则，

故在递减，

，，，

又，时，，

在递减，，

问题转化为只需证明，

即证明，

设函数，，

则，

设，则，

在递增，

，即，

在递增，，

当时，，

则，

，

．