Question

【题目】已知函数f（x）=a（2cos2 +sinx）+b
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b= asin（x+ ）+a+b，

当a=﹣1时，由2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ π，得2kπ+ ≤x≤2kπ+ π，

∴f（x）的单调增区间为[2kπ+ ，2kπ+ π]（k∈Z）

（2）解：∵0≤x≤π，∴ ≤x+ ≤ π，

∴﹣ ≤sin（x+ ）≤1，依题意知a≠0，

分两种情况考虑：

1°当a＞0时， ，

∴a=3（ ﹣1），b=5；

2°当a＜0时， ，

∴a=﹣3（ ﹣1），b=8，

综上所述：a=3 ﹣3，b=5或a=3﹣3 ，b=8

【解析】函数f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（1）将a=﹣1代入，利用正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）根据x的范围求出这个角的范围，确定出正弦函数的值域，根据f（x）的值域，分a小于0与大于0两种情况考虑，分别列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．