Question

已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由题目要求解的不等式是ef（x）＞f（1）e^x，变性后得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，由此想到构造函数g（x）=

f(x)

ex

，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，
则g′(x)=

ex•f′(x)-ex•f(x)

e2x

=

ex(f′(x)-f(x))

e2x

，
因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，
所以，函数g（x）=

f(x)

ex

为（-∞，+∞）上的增函数，
由ef（x）＞f（1）e^x，得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，即g（x）＞g（1），
因为函数g（x）=

f(x)

ex

为（-∞，+∞）上的增函数，
所以，x＞1．
所以，不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是（1，+∞）．
故答案为（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数g（x）=

f(x)

ex

，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是中档题．