Question

已知向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)．
（1）若

OM

=

a

+

b

（O为坐标原点），求M点的轨迹方程；
（2）若

a

⊥

b

，求

cos( π 2 -α)cos(π+α)sin(α- 7π 2 )

cos(2π-α)

的值．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

OM

=

a

+

b

，知

OM

=(2，1)+(sinα，sinα)=（2+sinα，1+sinα），由此能求出M点的轨迹方程．
（2）由向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

a

⊥

b

，知sinα=0，由此利用诱导公式能求值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

OM

=

a

+

b

，
∴

OM

=(2，1)+(sinα，sinα)=（2+sinα，1+sinα），
∵O为坐标原点，
∴M点坐标是（2+sinα，1+sinα），
∴

x=2+sinα y=1+sinα

，∴x-2=y-1，即x-y-1=0，
∴M点的轨迹方程是x-y-1=0．
（2）∵向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

a

⊥

b

，
∴2sinα+sinα=0，即sinα=0，
∴

cos( π 2 -α)cos(π+α)sin(α- 7π 2 )

cos(2π-α)

=

sinα(-cosα)cosα

cosα

=0．

点评：本题考查平面向量的综合题，解题时要认真审题，注意平面向量的坐标运算和诱导公式的合理运用．