Question

(本小题满分12分)
过点P（1，4）作直线L，直线L与x,y的正半轴分别交于A,B两点，O为原点,
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程

Answer 1

解：依题意可设直线l的方程为:(a>0 , b>0 )
则A(a , 0 ), B(0,b ), 直线L过点P（1，4）, ∴ , ……………2分
又a>0 , b>0
∴
………………4分
当且仅当取等号, S的最小值为8
此时直线方程为：，即：4x + y - 8＝0…………………6分
②|OA|+|OB|=" a" + b =" (a" + b )()="5" + ……8分
当且仅当取等号, ……10分
|OA|+|OB|的值最小, 此时直线方程为：即：2x + y - 6＝0……12分
法二：①依题意可设直线l的方程为:y-4 =" k" ( x -1 ) ( k<0 )
令 x =" 0" , 则y =" 4" – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y =" 0" , 则x =+1 ,A (+1, 0)…2分
S =(4-k)( +1)= (- k + 8 )≥8 ，…………4分
当且仅当-16/k = -k时，即 k = -4时取等号, S的最小值为8 ，
此时直线方程为：y-4 =" -4(" x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分
②|OA|+|OB|="(" +1) + (4-k) = -k + 5 ≥4 + 5 ="9" ，……8分
当且仅当= -k时，即 k = -2时取等号, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分
此时直线方程为：:y-4 =" -2" ( x -1 ) 即：2x + y - 6＝0……………12分

略