Question

已知函数h（x）=2^x（x∈R），它的反函数记为h^-1（x）．A、B、C三点在函数h^-1（x）的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8（a＞1），设△ABC的面积为S．
（1）求S=f（a）的表达式；
（2）求函数f（a）的值域；
（3）若S＞2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数h（x）=2^x的反函数，在反函数解析式中分别取x=a，a+4，a+8求出对应的函数值，利用三角形的面积等于两个小梯形的面积减去大梯形的面积整理得答案；
（2）首先求真数的值域，然后利用对数函数的单调性求函数f（a）的值域；
（3）把S代入S＞2，求解对数不等式即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）由h（x）=2^x（x∈R），得h^-1（x）=log₂x（x＞0）．
∵A、B、C三点在函数h^-1（x）的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8（a＞1），
∴h^-1（a）=log₂a，h^-1（a+4）=log₂（a+4），h^-1（a+8）=log₂（a+8）．
过A、B、C三点分别作x轴的垂线AA₁，BB₁，CC₁．
∴S=f（a）=SABB1A1+SBCC1B1-SACC1A1
=

1

2

[log2a+log2(a+4)]×4+

1

2

[log2(a+4)+log2(a+8)]×4-

1

2

[log2a+log2(a+8)]
=2log2(a2+4a)+2log2(a2+12a+32)-4log2(a2+8a)
=2log2

a(a+4)(a+4)(a+8)

a2(a+8)2

=2log2

(a+4)2

a(a+8)

 （a＞1）；
（2）令g（a）=

(a+4)2

a(a+8)

=1+

16

a2+8a

，
由已知a＞1，得a²+8a＞9，0＜

1

a2+8a

＜

1

9

，
0＜

16

a2+8a

＜

16

9

，1＜1+

16

a2+8a

＜

25

9

．
∴1＜g（a）＜

25

9

．
则f（a）=2log₂g（a）∈(0，4log2

5

3

)；
（3）由S＞2，得2log2

(a+4)2

a(a+8)

＞2，即log2

(a+4)2

a(a+8)

＞1，

(a+4)2

a(a+8)

＞2（a＞1），解得a＞4

2

-4．

点评：本题考查了函数的反函数的求法，考查了函数的值域，考查了学生的计算能力，是中档题．