Question

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•(2n)n．

Answer 1

分析：（1）f（x）≥0对一切x∈R恒成立，等价于f（x）_min≥0，利用导数可得最小值；
（2）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，得1-

i

2n

≤e

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，累加后再进行适当放缩，可证明；

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，即a_max=1．
（2）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂，
则

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′(x)=ex-a-

a

ex

≥2

ex•(- a ex )

-a=-a+2

-a

=(

-a

+1)2-1≥3，
故m≤3；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，得1-

i

2n

≤e

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，
累加得：(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n≤e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

，
∴1n+3n+…+(2n-1)n＜

e

e-1

(2n)n，
故存在正整数a=1．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•(2n)n．

点评：本题考查恒成立问题、导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．