【答案】
分析:(1)连接A
1C
1,根据正方体的几何特征,我们可以得到O
1C
1OA是平行四边形,即C
1O∥AO
1,结合线面平行的判定定理,即可得到C
1O∥面A
1B
1D
1;
(2)由正方体的几何特征,我们可根据CC
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,得到B
1D
1⊥A
1C,同理可证AB
1⊥A
1C,进而根据线面垂直的判定定理得到A
1C⊥面AB
1D
1;
(3)直线AC与平面AB
1D
1所成的角实际上就是正四面体ACB
1D
1的一条棱与一个面所成的角,结合正四面体的几何特征,易求出直线AC与平面AB
1D
1所成角的正切值.
解答:证明:(1)连接A
1C
1,设A
1C
1∩B
1D
1=O
1,
连接AO
1,∵ABCD-A
1B
1C
1D是正方体
∴A
1ACC
1是平行四边形
∴A
1C
1∥AC且A
1C
1=AC(2分)
又∵O
1,O分别是A
1C
1,AC的中点,
∴O
1C
1∥AO且O
1C
1=AO
∴O
1C
1OA是平行四边形
∴C
1O∥AO
1,AO
1?平面A
1B
1D
1,C
1O?平面A
1B
1D
1,
∴C
1O∥面A
1B
1D
1;
(2)∵CC
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,
∴CC
1⊥B
1D
1,
又∵A
1C
1⊥B
1D
1,
∴B
1D
1⊥平面A
1C
1C
即B
1D
1⊥A
1C,
同理可证AB
1⊥A
1C,
又B
1D
1∩AB
1=B
1,
∴A
1C⊥面AB
1D
1;
(3)直线AC与平面AB
1D
1所成的角实际上
就是正四面体ACB
1D
1的一条棱与一个面所成的角,
余弦值为
,从而正切值为
.(13分)
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,其中(1)的关键是得到C
1O∥AO
1,(2)的关键是利用正方体的几何特征得到B
1D
1⊥A
1C,且AB
1⊥A
1C,(3)的关键是分析出直线AC与平面AB
1D
1所成的角实际上就是正四面体ACB
1D
1的一条棱与一个面所成的角.