Question

【题目】已知椭圆的离心率e= ， 原点到过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线的距离是 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）直线AB的方程为：bx﹣ay﹣ab=0
∵原点到过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线的距离是．
∴=
∴①
∵椭圆的离心率e=，
∴
∴a2=4b2②
②代入①，可得b2=4，
∴a2=16
∴椭圆的方程为；
（2）由题意，B（0，﹣2）
设E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，
由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，
代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1﹣x2）+6k（x1﹣x2）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x1≠x2 ， 所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，
即x1+x2=-④
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，
由根与系数的关系，x1+x2=-…⑤，
将④⑤两式联立求解得k=0（舍）或k=±，
故k═±．
【解析】（1）直线AB的方程为：bx﹣ay﹣ab=0，利用原点到过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线的距离是 ， 可得= ， 利用椭圆的离心率e= ， 可得 ， 从而可求b2=4，
a2=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，﹣2），设E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2 ， 由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1﹣x2）+6k（x1﹣x2）=0，从而可得x1+x2=-；将y=kx+1代入 ， 得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，由根与系数的关系，可得x1+x2=- ， 从而可求得k的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．