Question

已知过A（1，a）作函数y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）图象的切线有三条，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：设切点为（s，t），则t=s²ⁿ⁺¹，y′=f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．可得切线方程为y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
由于切线过点A（1，a），可得a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），化为a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹．过A（1，a）作函数y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）图象的切线有三条，?y=a与函数f（s）的图象有三个交点．
解得f（s）_极小值＜a＜f（s）_极大值即可．

解答：解：y′=f'（x）=（2n+1）x²ⁿ．
设切点为（s，t），则t=s²ⁿ⁺¹，f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．
∴切线方程为y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
∵切线过点A（1，a），∴a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），
化为a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
则f′（s）=2n（2n+1）s^2n-1（1-s）．
由f′（s）＞0，解得0＜s＜1，此时函数f（s）单调递增；
由f′（s）＜0，解得1＜s或s＜0，此时函数f（s）单调递减．
由此可知：当s=0时，函数f（s）取得极小值；
当s=1时，函数f（s）取得极大值．
∵过A（1，a）作函数y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）图象的切线有三条，?y=a与函数f（s）的图象有三个交点．
∴f（0）＜a＜f（1），解得0＜a＜1．
故答案为：（0，1）．

点评：本题考查了曲线的切线方程、函数零点与函数图象交点的个数之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．