Question

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F分别是BC,PC的中点。 

（Ⅰ）求证：AE⊥PD；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

【解析】（Ⅰ）要证AE⊥PD ，先证AE⊥平面PAD，需要证明PA⊥AE，转化为证PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立坐标系计算二面角E-AF-C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），

所以?=（，-1，-a），且?=(，0，0）为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，

由sinθ=|cos＜?，?＞|===……8分

解得a=2 所以?＝（,0,0），?＝（，，1）

设平面AEF的一法向量为m=(x₁,y₁,z₁)，则，因此取z₁=-1，则m=(0,2,-1),……10分 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），

所以cos＜m,＞=.

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.