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设f(x)=x2+bx+c(b、c为常数),方程f(x)=x的两个实数根为x1、x2,且满足x1>0,x2-x1>1.
(Ⅰ)求证:b2>2(b+2c);
(Ⅱ)设0<t<x1,比较f(t)与x1的大小.
【答案】分析:(1)由题意f(x)=x的两个实数根为x1、x2,将其转化为方程x2+bx+c-x=0的两根为x1、x2,根据韦达定理x1+x2=x1+x2=1-b,x1x2=c,再根据条件x1>0,x2-x1>1,从而求证.
(2)构造函数g(t)=f(t)-x1=t2+bt+c-(x12+bx1+c),由已知条件0<t<x1,将方程g(t)=0因式分解,从而求解.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=x,得x2+(b-1)x+c=0.
∴x1+x2=1-b,x1x2=c.(2分)
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=(1-b)2-4c=b2-2b+1-4c.
∵x2-x1>1,
∴(x2-x12>1.
∴b2-2b+1-4c>1,即b2>2(b+2c).(6分)

(Ⅱ)g(t)=f(t)-x1=t2+bt+c-(x12+bx1+c)
=(t+x1)(t-x1)+b(t-x1)=(t-x1)(t+x1+b)
=(t-x1)(t+1-x2).(10分)
由0<t<x1,知t-x1<0.
又∵x2-x1>1,
∴1+x1-x2<0,1+t-x2<1+x1-x2<0.
∴(t-x1)(t+1-x2)>0.
∴f(t)>x1.(14分)
点评:此题综合性很强,难度比较大,要求学生要能灵活运用所学知识,要求学生掌握一元二次方程根与系数的关系.
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