Question

设函数y=f(x)=

2x

2x+ 2

上两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），若

op

=

1

2

(

op1

+

op2

)，且P点的横坐标为

1

2

．
（1）求P点的纵坐标；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，求S_n；
（3）记T_n为数列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}的前n项和，若Tn＜a(Sn+2+

2

)对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量知识，确定P为P₁P₂的中点，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法，即可求得结论；
（3）裂项求和，再分离参数，利用基本不等式求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）∵

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，∴P为P₁P₂的中点，∴x₁+x₂=1
∴y₁+y₂=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=1
∴P的纵坐标为

1

2

；
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，f（1）=2-

2

∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，Sn=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)
∴2Sn=(n-1)+2(2-

2

)=n+3-2

2

∴Sn=

n+3-2 2

2

；
（3）Sn+

2

=

n+3

2

，Sn+1+

2

=

n+4

2

∴

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

4

(n+3)(n+4)

=4（

1

n+3

-

1

n+4

）
∴T_n=4（

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

）=

n

n+4

∵Tn＜a(Sn+2+

2

)对一切n∈N^*都成立
∴a＞

Tn

Sn+2+ 2

=

2

n+ 20 n +9

设g（n）=n+

20

n

，则g（n）在[

20

，+∞）上是增函数，在（0，

20

）上是减函数
∴g（n）的最小值为9
∴

2

n+ 20 n +9

＜

1

9

∴a＞

1

9

．

点评：本题考查数列的求和，考查裂项法的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题