Question

已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点，A(6，2

3

)，B(8，0)，圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线l被圆所截得的弦长为4

3

．
（1）求圆C的方程及直线l的方程；
（2）设圆N的方程（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，（θ∈R），过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

CE

•

CF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）直角三角形斜边的中点就是该直角三角形外接圆的圆心，半径r、弦长l、弦心距d三者满足：r²=d²+(

l

2

)2．
（2）结合图象，利用2个向量的数量积的定义，用∠ECF的一半α表示则

CE

•

CF

的结果，由圆的几何性质|PC|≥|NC|-1，可得cosα的最大值，进而得

CE

•

CF

的最大值．

解答：解：（1）因为A(6，2

3

)，B(8，0)，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，
所以圆C：（x-4）²+y²=16
①斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为4

3

，所以l：x=2适合
②斜率存在时，设l：y-6=k（x-2）即kx-y+6-2k=0
因为被圆截得弦长为4

3

，所以圆心到直线距离为2，所以

|4k+6-2k|

1+k2

=2
∴k=-

4

3

∴l：y-6=-

4

3

(x-2)，即4x+3y-26=0
综上，l：x=2或4x+3y-26=0
（2）解：设∠ECF=2a，
则

CE

•

CF

=|

CE

|•|

CF

|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|-1=7-1=6，
所以cosα≤

2

3

，
由此可得

CE

•

CF

≤-

16

9

，则

CE

•

CF

的最大值为-

16

9

．

点评：本题属于应用直线和圆的位置关系，并结合平面向量数量积的预算，求最值问题．