Question

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．
（1）若m=2，写出函数f（x）的对称轴方程、并求函数g（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=2时，函数f（x）=）=2^|x-2|，的对称轴方程为直线x=2．化简函数g（x）的解析式，利用二次函数的性质求出
g（x）的单调区间．
（2）由题意可得f（x）的值域应是g（x）的值域的子集，再分4≤m≤8、m＞8、0＜m＜4、m≤0四种情况，分别求出
实数m的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：（1）m=2时，函数f（x）=）=2^|x-2|，的对称轴方程为直线x=2，（2分）
g(x)=

x2-2x-4  (x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
故函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（6分）
（2）f(x)=

2x-m (x≥m) 2m-x(x＜m)

，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4 ，
g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．（9分）
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4，
g（x）在[4，

m

2

]单调增，[

m

2

，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．…（12分）
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．（15分）
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，在[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
综上，m的取值范围是[

7

2

，5]∪[6，+∞)．（18分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断，利用函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．