Question

已知圆A:x²+y²+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l:y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程.

Answer 1

解析：(1)考虑到圆B的圆心在直线l上移动，可写出动圆B的方程，再设法建立起圆B的半径r的目标函数.

设圆的半径为r.

∵圆B的圆心在直线l:y=2x上，

∴圆B的圆心可设为(t,2t),则圆B的方程是

(x-t)²+(y-2t)²=r²,

即  x²+y²-2tx-4ty+5t²-r²=0.                         ①

∵圆A的方程是  x²+y²+2x+2y-2=0,                ②

∴②-①，得两圆的公共弦方程

(2+2t)x+(2+4t)y-5t²+r²-2=0.                        ③

∵圆B平分圆A的周长，

∴圆A的圆心(-1，-1)必须在公共弦上，于是，将x=-1,y=-1代入方程③,并整理得

r²=5t²+6t+6(目标函数)

∴当t=时,r_min=

此时,圆B的方程是.