选做题(A)选修4-1:几何证明选讲如图.AB是半圆O的直径.延长AB到C.使BC=3.CD切半圆于点D.DE⊥AB.垂足为E.若AE:EB=3:1.求DE的长．(B)选修4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中.直线y=kx在矩阵0110对应的变换下得到的直线经过点P(4.1).求实数k的值．(C)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中.已知圆ρ=asinθ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•江苏一模）选做题
（A）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC=

，CD切半圆于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AE：EB=3：1，求DE的长．
（B）选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵

0	1
1	0

对应的变换下得到的直线经过点P（4，1），求实数k的值．
（C）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆ρ=asinθ（a＞0）与直线ρcos(θ+

)=1相切，求实数a的值．
（D）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

分析：（A）连接OD、BD，由题目中条件知：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，设圆的半径为R，再在直角三角形OCD中，可得CD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得DE的长．
（B）设变换T：

→

x′

y′

，直线y=kx上任意一点（x，y），（x′，y′）是所得的直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果．
（C）先圆ρ=acosθ与直线ρcos(θ+

)=1，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
（D）：将（a+2）（b+2）（c+2）展开，再利用基本不等式结合条件abc=1，即可证得．

解答：

解：（A）连接OD，
∵DE⊥AB，垂足为E，且AE：EB=3：1得E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，
在直角三角形OCD中，∠COD=60°，设圆的半径为R，
∴可得CD=

OD=

R，
∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，
∴CD²=CB×CA，
即3R²=

×（

+2R）
∴R=

，
∴DE=

OE=

；
（B）：设变换 T：

→

x′

y′

，
则

x′

y′

0	1
1	0

，（5分）
即

x=y′

y=x′

代入直线y=kx得y'=kx'，
将点P（4，1）代入，
得k=

．
（C）：p²=apcosθ，圆ρ=acosθ的普通方程为：x²+y²=ax，（x-

）²+y²=（

）²，
直线ρcos(θ+

)=1的普通方程为：x-y-

=0，
又圆与直线相切，所以

|0-

=a，解得：a=4±2

．
∵a＞0，∴a=4+2

．
（D）：（a+2）（b+2）（c+2）
=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8
≥1+2×3

3	a2b2c2

+4×3

3	abc

+8
=27，当且仅当a=b=c时等号成立．

点评：本题主要考查二阶矩阵的变换，简单曲线的极坐标方程，不等式的证明等．考查运算求解能力．

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