Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．
（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答：解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2

3

，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

FC

EA

=

1

3

∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．（8分）
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=

3

，
由

FC

EA

=

GC

GA

=

1

3

，得GC=2．
∵BG=

BM2+MG2

=2

3

，
又∵△GCH∽△GBM，∴

GC

BG

=

CH

BM

，则CH=

GC•BM

BG

=

2× 3

2 3

=1．（12分）
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

2

2

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．