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    数列{an}中，an+1=
    an2
    2an-2
    ，n∈N*．
    （I）若a1=
    9
    4
    ，设bn=log
    1
    3
    an-2
    an
    ，求证数列{bn}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
    （II）若a1＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+
    a1-2
    2n-1
    ．
    （I）证明：
    ∵bn+1=log
    1
    3
    an+1-2
    an+1
    =log
    1
    3
    a2n
    2an-2
    -2
    a2n
    2an-2
    =log
    1
    3
    (
    an-2
    an
    )2=2log
    1
    3
    (
    an-2
    an
    )=2bn    ，
    （2分）
    ∵b1=log
    1
    3
    a1-2
    a1
    =2    ，∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）

    ∴bn=2n，即log
    1
    3
    an-2
    an
    =2n    ，得
    an-2
    an
    =(
    1
    3
    )2n    ，所以an=
    2
    1-(
    1
    3
    )    2n
    ．（6分）
    （II）证明：（i）当n=2时，∵a1＞2，
    ∴a2-2=
    a21
    2a1-2
    -2=
    (a1-2)2
    2a1-2
    ＞0    ，
    ∴a2-2-
    a1-2
    2
    =
    (a1-2)2
    2a1-2
    -
    a1-2
    2
    =
    2-a1
    2(a1-1)
    ＜0    ，
    ∴2＜a2＜2+
    a1-2
    21
    ，不等式成立；（8分）
    （ii）假设当n=k（k≥2）时，2＜ak＜2+
    a1-2
    2k-1
    成立，
    那么，当n=k+1时，去证明2＜ak+1＜2+
    a1-2
    2k

    ∵ak+1-2=
    ak
    2ak-2
    -2=
    (ak-2)2
    2(ak-1)
    ＞0    ，
    ∴ak+1＞2；
    ∵ak+1-2-
    a1-2
    2k
    =
    (ak-2)2
    2(ak-1)
    -
    a1-2
    2k
    ＜
    (ak-2)2
    2(ak-2)
    -
    a1-2
    2k
    =
    ak-2
    2
    -
    a1-2
    2k
    ，
    ak-2
    2
    -
    a1-2
    2k
    ＜
    2+
    a1-2
    2k-1
    -2
    2
    -
    a1-2
    2k
    =0
    ∴ak+1＜2+
    a1-2
    2k
    ；
    ∴2＜ak+1＜2+
    a1-2
    2k
    ，
    所以n=k+1不等式也成立，
    由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，如果对任意n∈N+都有
    an+2-an+1an+1-an
    =p（p为常数），则称数列{an}为“等差比”数列，p叫数列{an}的“公差比”．现给出如下命题：
    （1）等差比数列{an}的公差比p一定不为零；
    （2）若数列{an}（n∈N+）是等比数列，则数列{an}一定是等差比数列；
    （3）若等比数列{an}是等差比数列，则等比数列{an}的公比与公差比相等．
    则正确命题的序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•南京一模）已知函数f（x）=2+
    1
    x
    ．数列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{an}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，
    7
    3
    ，
    17
    7
    ，…；当a=-
    1
    2
    时，得到有穷数列-
    1
    2
    ，0．
    （1）求a的值，使得a3=0；
    （2）设数列{bn}满足b1=-
    1
    2
    ，bn=f(bn+1)(n∈N*)    ，求证：不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}；
    （3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有
    7
    3
    ＜an    ＜3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•安徽模拟）数列{an}中，a1=
    5
    7
    ，an+1=2-
    1
    an
    (n∈N*)    ；数列{bn}满足bn=
    1
    an-1
    (n∈N*)    ．
    （I）求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；
    （Ⅱ）求{an}中最大项与最小项．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    关于数列有下列四个判断：
    ①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
    ②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…也成等比数列；
    ③若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；
    ④数列{an}的前n项的和为Sn，且数学公式，则{an}为等差或等比数列；
    ⑤数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n）．
    其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，如果存在非零常数T使得an=an+T对于任意非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，已知数列{an}满足an+1=|anan1|（n≥2，n∈N），如果a1=1，a2=a(a∈R,a≠0)，当数列{an}的周期最小时，该数列前2005项的和是                                                  

    A．668                     B．669                    C．1336                  D．1337

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