Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m与n的关系表达式；
（II）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；
（II）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．

解答：解：（I）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]．
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在(-∞，1+

2

m

)单调递减，
在(1+

2

m

，1)单调递增，（1+∞）单调递减．

点评：考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，属中档题．