Question

【题目】已知抛物线，圆.

（Ⅰ）是抛物线的焦点，是抛物线上的定点，，求抛物线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点的直线与圆相切，设直线交抛物线于，两点，则在轴上是否存在点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题，求得焦点F的坐标，再求得点A的坐标，代入求得方程；

（Ⅱ）先由题求得直线l的方程，再假设存在点使，转化为，然后联立方程，求得斜率相加为0，解得M的坐标即可.

（Ⅰ）抛物线C的焦点为,

由

代入抛物线方程得p=2,故抛物线C的方程为：

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时,过点 的直线不可能与圆E相切；

所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,

设直线斜率为k,则所求的直线方程为,

所以圆心到直线l的距离为

当直线l与圆相切时,有

所以所求的切线方程为或

不妨设直线l：,交抛物线于两点,

联立方程组 得.

所以,,

假设存在点使，则. 所以

即t=-1故存在点 符合条件

当直线l：时,

由对称性易知点也符合条件

综上存在点使