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    3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（4，0），若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则a的取值范围是0＜a≤2．

    分析 若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出b2≥3a2，利用c=4，即可求出a的取值范围．

    解答 解：∵过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
    ∴该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
    ∴$\frac{b}{a}$≥$\sqrt{3}$，
    ∴b2≥3a2，
    ∵c=4
    ∴16≥4a2，
    ∴0＜a≤2
    故答案为：0＜a≤2．

    点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

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