Question

【题目】已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点P(-,1)在该椭圆上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）已知离心率，点P满足椭圆方程，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆C的方程；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），易知直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），由点B，A在椭圆上，化简可得y0 =-1，由AB的中点在y=kx+1上，解得x0，进而推出k的不等式.

(1)由已知e=, 即c2=a2,b2=a2-c2=a2,

将P(-,1)代入椭圆方程,得=1,

∴ a=2,b=.∴a2=4,∴b2=2,

∴ 椭圆C的方程为=1.

(2)椭圆C上存在点B,A关于直线y=kx+1对称,

设A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,AB的中点(x0,y0),

易知直线y=kx+1且k≠0,恒过点(0,1),则+(y1-1)2=+(y2-1)2,

点A,B在椭圆上,∴=4-2=4-2,

∴ 4-2+(y1-1)2=4-2+(y2-1)2. 化简得=-2(y1-y2),即y1+y2=-2,∴ y0==-1.

又AB的中点在y=kx+1上,∴ y0=kx0+1,x0=-.

由可得x=±,

∴0<-,或-<-<0,

即k<-或k>.

则k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).