Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我们易求出AC⊥BC，结合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC⊥平面ACFE．
（2）以点ABC-A₁B₁C₁为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，看出AM∥平面BDF等价于

AM

与

FB

、

FD

共面，也等价于存在实数m、n，使

AM

=m

FB

+n

FD

，根据向量之间的关系得到结论．
（3）要求两个平面所成的角，根据向量的加减运算做出平面的法向量，二面角B-EF-D的大小就是向量

GD

与向量

FB

所夹的角．根据向量的夹角做出结果．

解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
解：（2）当EM=

3

3

a时，AM∥平面BDF，
以点ABC-A₁B₁C₁为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A(

3

a，0，0)，E(

3

a，0，a)
AM∥平面BDF?

AM

与

FB

、

FD

共面，也等价于存在实数m、n，使

AM

=m

FB

+n

FD

，
设

EM

=t

EF

．
∵

EF

=（-

3

a，0，0），

EM

=(-

3

at，0，0）
∴

AM

=

AE

+

EM

=（-

3

at，0，0）
又

FD

=（

3

2

a，-

1

2

a，-a），

FB

=（0，a，-a），
从而要使得：(-

3

at，0，a)=m(0，a，-a)+n(

3

2

a，-

1

2

a，-a)成立，
需

- 3 at= 3 2 an 0=ma- 1 2 an a=-am-an

，解得t=

1

3

∴当EM=

3

3

a时，AM∥平面BDF
（3B（0，a，0），A(

3

a，0，0)，
过D作DG⊥EF，垂足为G．令

FG

=λ

FE

=λ（

3

a，0，0），

CG

=

CF

+

FG

=（

3

aλ，0，a），

DG

=

CG

-

CD

=（

3

λa-

3

2

a，

1

2

a，a）
由

DG

⊥

EF

得，

DG

•

EF

=0，
∴λ=

1

2

∴

DG

=(0，

1

2

a，a)，即

GD

=(0，-

1

2

a，-a)
∵BC⊥AC，AC∥EF，
∴BC⊥EF，BF⊥EF
∴二面角B-EF-D的大小就是向量

GD

与向量

FB

所夹的角．
∵

FB

=（0，a，-a）
cos＜

GD

，

FB

＞=

10

10

，即二面角B-EF-D的平面角的余弦值为

10

10

．

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角和线面之间的关系问题，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这是新课标高考卷中常见的一种题目．