Question

【题目】已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2) .

【解析】

（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．

(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，

因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，

故函数h(x)的值域为[0,2]．

(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，

得(3－4)(3－)＞k·，

令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0,2]时，恒成立，

即，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为－3.所以k＜－3.

综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．