Question

设a_n=1+++…+(n∈N^*),是否存在关于n的整式g(n），使等式a₁+a₂+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)对一切大于1的正整数n都成立？若存在，求出g(n);若不存在，说明理由.

Answer 1

解：假设g(n)存在

当n=2时，由a₁=g(2)(a₂-1)即

1=g(2)×(1+-1),解得g(2)=2.

当n=3时，由a₁+a₂=g(3)(a₃-1)即1+(1+)=g(3)×(1++-1),得g(3)=3.

当n=4时，同样可得g(4)=4.

由此猜想g(n)=n.(n≥2,n∈N^*)

下面用数学归纳法证明.

当n≥2,n∈N^*时，等式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n(a_n-1)恒成立.

当n=2时，a₁=1,g(2)(a₂-1)=2×=1,结论成立.

假设n=k.(k≥2)时结论成立，则

a₁+a₂+a₃+…+a_k-1+a_k=k(a_k-1)+a_k=(k+1)·a_k-(k+1)+1

=(k+1)(a_k+-1)=(k+1)(a_k+1-1)

∴n=k+1时结论成立.

综上可知，对于大于1的正整数n,存在g(n)=n,使a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)恒成立.