Question

【题目】已知（，且，）是定义在区间上的奇函数，

（1）求的值和实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（3）若且成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递减,证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据奇函数的特性，可得,再由,，可得实数的值；（2）讨论两种情况，当时， 当时，分别结合对数函数的图象和性质,及复合函数同增异减的原则，可得函数在区间上的单调性；（3）由，可得函数在区间上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数的取值范围.

（1）∵（，且，）是定义在区间上的奇函数，

∴，

且，即，

即，

可得，

故，

又∵，

故，

（2）由（1）得，

令，则在区间上单调递减，

当时，为减函数，此时函数在区间上的单调递增；

当时，为增函数，此时函数在区间上的单调递减；

（3）若，则，由（1）得，函数在区间上的单调递增，

若，

则，

则，

则，

解得：.