Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用acosC，bcosB，ccosA成等差数列与正弦定理可求得cosB=

1

2

，利用B∈（0，π），可求得B=

π

3

；
（Ⅱ）依题意，可求得

π

6

＜A＜

π

2

，利用二倍角的余弦与两角差的余弦及正弦函数的单调性即可求得2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
∴由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），又A+B+C=π，
∴2sinBcosB=sin（π-B）=sinB，sinB＞0，
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，
∴C=

2π

3

-A，
又△ABC为锐角三角形，
∴0＜C=

2π

3

-A＜

π

2

，0＜A＜

π

2

，
解得

π

6

＜A＜

π

2

．
∴2sin²A+cos（A-C）
=1-cos2A+cos（2A-

2π

3

）
=1-cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=

3

2

sin2A-

3

2

cos2A+1
=

3

sin（2A-

π

3

）+1，
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴0＜2A-

π

3

＜

2π

3

，
∴0＜sin（2A-

π

3

）≤1，
∴1＜

3

sin（2A-

π

3

）+1≤

3

+1，
∴2sin²A+cos（A-C）的取值范围为（1，

3

+1]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的余弦与两角差的余弦及正弦函数的单调性，属于中档题．