Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（ ，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由圆的方程x2+y2=b2，由椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点，则b=c，

∴a2=2b2，

将（ ，1）代入椭圆方程 ，解得：b2=2，则a2=4，

∴椭圆的标准方程： ；

（2）

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

当直线k的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+1），

则 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

则y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（ ﹣ +1）=﹣ ，

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[ ﹣m×（﹣ ）+m2]+（﹣ ），

= = 为定值，

则 = ，解得：m=﹣ ，

则 =﹣ ，

当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），

此时，当m=﹣ 时，则 =（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣ =﹣ ，

综上可知：存在点M（﹣ ，0），使得 =﹣ ．

【解析】（1）由题意可知：b=c，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，由 恒为定值即可求得m的值，求得 的值及M点坐标；当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），则m=﹣ 时，求得 的值及M点坐标．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．