Question

【题目】已知函数，是的导数.

（Ⅰ）讨论不等式的解集；

（Ⅱ）当且时，若在恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）计算得，其有一个零点1，因此可对分类讨论研究另一个零点（如有）与1的大小关系，得出不等式的解集．

（Ⅱ）先求在上的最大值，由导数知识知最大值是和中的较大者，因此可比较两者大小（通过作差得，再构造新函数利用导数研究单调性可得最大值为），也可分类，由的单调性得时有，再由得出最终结论．

试题解析：

（Ⅰ）

当时，不等式的解集为

当时，，不等式的解集为

当时，，不等式的解集为

当时，，不等式的解集为

（Ⅱ）法一：当时，由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增；是的较大者。，

令，，

所以是增函数，所以当时，，所以，所以.

恒成立等价于，

由单调递增以及，得

法二：当时，由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增；

是的较大者。

由，由单调递增以及，得.

当时，，因为当时，单调递减，所以

，综上的范围是