Question

【题目】如图1，在高为2的梯形中，，，，过、分别作，，垂足分别为、．已知，将梯形沿、

同侧折起，使得，，得空间几何体，如图2．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）连接交于，取的中点，连接，则是的中位线，结合已知从而可得平行四边形，因此有，于是由线面平行的判定定理得线面平行；

（Ⅱ）关键是顶点的转化，由线面平行有 ，则体积可得．

试题解析：

（Ⅰ）证法一：连接交于，取的中点，连接，则

是的中位线，所以.

由已知得，所以，连接，

则四边形是平行四边形，所以，

又因为所以，即.

证法二：延长交于点，连接，则，

由已知得，所以是的中位线，所以

所以，四边形是平行四边形，

又因为所以.

证法三：取的中点，连接，易得，即四边形是

平行四边形，则，又

所以

又因为，所以四边形是平行四边形，所以，

又是平行四边形，所以，所以，所以

四边形是平行四边形，所以，又又

所以

又，所以面，又，所以.

（Ⅱ）因为，所以 ,由已知得，四边形ABEF为正方形，且边长为2，则在图2中，AFBE，由已知AFBD，BEBD=B,，可得AF面BDE， 又DE面BDE，所以AFDE，又AEDE，AFAE=E，所以DE面ABEF， 且，所以，所以是三棱锥的高，四边形是直角梯形。