Question

【题目】已知椭圆C1： （a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2=4y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆C1的左、右焦点，C1的离心率e= ，过F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点，与抛物线C2交于P，Q两点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）当直线l的斜率k=﹣1时，求△PQF1的面积；
（3）在x轴上是否存在点A， 为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线C2：x2=4y的焦点为（1，0），可得b=1，

由e= = ，a2﹣c2=1，解得a= ，

故椭圆C1的方程为 +y2=1

（2）解：由题意可得直线l：y=1﹣x，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线的方程x2=4y，可得

x2+4x﹣4=0，可得x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，

即有|PQ|= = =8，

由F1到直线l的距离为d= = ，

可得△PQF1的面积为 |PQ|d= ×8× =4

（3）解：设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．

①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），

把直线l的方程代入椭圆方程化简可得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，

∴x3+x4= ，x1x2= ，

∴y3y4=k2（x3﹣1）（x4﹣1）=k2[x3x4﹣（x3+x4）+1]，

∴ =（x3﹣t）（x4﹣t）+y3y4=（k2+1）x3x4﹣（k2+t）（x3+x4）+k2+t2

= +t2，

∵ 为常数，

∴ = ，

∴t= ，

此时 =﹣2+ =﹣ ；

②当直线l与x轴垂直时，此时点M、N的坐标分别为（1， ），（1，﹣ ），

当t= 时，亦有 =﹣ ．

综上，在x轴上存在定点A（ ，0），使得 为常数，

且这个常数为﹣

【解析】（1）求得抛物线的焦点，可得b=1，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得直线l：y=1﹣x，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入抛物线的方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式可得所求；（3）设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，再由恒为常数，可得t，可得常数；②当直线l与x轴垂直时，求得M，N的坐标，即可判断存在A和常数．