Question

已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4.

 (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

 (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

 (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，     

，设是平面QAD的一个法向量，由

得.

取x=1，得.

所以点P到平面QAD的距离.

解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.

从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

因为，

所以.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)连结OM，则.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.

在直角△PMO中，.

即点P到平面QAD的距离是.