Question

已知函数
（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；
（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先将代入中，得到切点的纵坐标，对求导，将代入得到切线的斜率，所以点斜式写出切线方程，因为它与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，列出表达式，求出；第二问，对求导，通过分析可转化为当时，恒成立，设，讨论，讨论的正负，通过抛物线的性质，求最小值.
试题解析：(1) ，而，故，
所以在点处的切线方程为，即，
由，配方得，故该圆的圆心为，半径，
由题意可知，圆与直线相切，所以，
即，解得.  （4分）
（2）函数的定义域为，，
由题意，只需当时，恒成立. （5分）
设，，
当时，，当时，恒成立，即恒成立，
故在上是增函数，∴当时，，（7分）
当时，函数的对称轴，则在上是增函数，
当时，，∴，∴在上是增函数，
∴当时，， （9分）
当时，函数的对称轴，在是减函数，，
故，∴在是减函数，
∴当时，与当时，矛盾，（11分）
综上所述，的取值范围是.