【题目】如图所示,在四棱台中,底面,四边形为菱形,,.
(1)若为中点,求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接,可证 ,又因为底面,可得,即可得证.
(2)如图建立空间直角坐标系,求出和平面 的一个法向量的坐标,则直线与平面所成角的正弦值.
试题解析:
(Ⅰ)∵四边形为菱形,,连结,则为等边三角形,
又∵为中点∴,由得∴
∵底面,底面∴,又∵
∴平面
(Ⅱ)∵四边形为菱形,,,
得,,∴ 又∵底面,
分别以,,为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系
、、、
∴,,
设平面的一个法向量,
则有,令,则
∴直线与平面所成角的正弦值
.
点晴:本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直,证明平面;第二问中通过建立空间直角坐标系,求得和平面的一个法向量
,结合得到结论.
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【题目】给出下列命题:
①命题“若,则”的否命题为“若,则”;
②“”是“”的必要不充分条件;
③命题“,使得”的否定是:“,均有”;
④命题“若,则”的逆否命题为真命题
其中所有正确命题的序号是________.
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【题目】在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成二面角的大小.
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【题目】如图,正方体的棱长为a,分别是棱、的中点,过点的平面分别与棱、交于点,设,,给出以下四个命题:
(1)平面与平面所成角的最大值为;
(2)四边形的面积的最小值为;
(3)四棱锥的体积为;
(4)点到平面的距离的最大值为,
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面,且,四边形满足,为侧棱上的任意一点.
(1)求证:平面平面.
(2)是否存在点,使得直线与平面垂直?若存在,写出证明过程并求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合,且椭圆的离心率为,过轴正半轴一点 且斜率为的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点,若存在,求出实数的值;若不存在说明理由.
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【题目】如图,⊙O1与⊙O2交于P、Q两点,⊙A的弦以与⊙O2相切,⊙O2的弦PB与⊙O1相切,直线PQ与△PAB的外接圆⊙O交于另一点R.证明:PQ=QR.
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