Question

（2012•商丘三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数）．
（Ⅰ）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）消去参数，把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程两边同时乘以ρ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离，由此距离小于半径，可得直线l和圆C相交．

解答：解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1．…（2分）
由ρ=2

2

sin(θ+

π

4

) 即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐标方程为：（x-1）²+（y-1）²=2．…（6分）
（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

，…（8分）
因为 d＜

2

，…（9分）
所以直线l和圆C相交． …（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．