Question

（2011•江西模拟）如图，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=θ，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为

π

2

．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当

π

2

∈[

2π

3

，θ]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

Answer 1

分析：（I）建立间直角坐标系O-xyz，由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

求出平面COD的一个法向量，又平面AOB的一个法向量为

n2

=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，求出θ的值．
（II）由（Ⅰ）得当θ=

π

2

时，cosα=0；当θ∈（

π

2

，

2π

3

]时，tanθ≤-

3

，利用向量的数量积公式将cosα用θ的三角函数表示，据tanθ≤-

3

，求出cosα的范围．

解答：解：（Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A （0，0，2

3

），B （0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．
设

n1

=（x，y，z）为，
由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，
则

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．
因为平面AOB的一个法向量为

n2

=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．　　　　　　　　　…（6分）
（Ⅱ） 设二面角C-OD-B的大小为α，
由（Ⅰ）得当θ=

π

2

时，cosα=0；
当θ∈（

π

2

，

2π

3

]时，
tanθ≤-

3

，
cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
故-

5

5

≤cosα＜0．
综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-

5

5

，0]．  …（13分）

点评：解决二面角的大小问题，一般借助的工具是通过建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为两个平面的法向量所成的角的问题，通过向量的数量积来解决．