Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；

（2）令， ，讨论函数的单调区间；

（3）如果在（1）的条件下， 在内恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）即恒成立，再参变分离得最大值，利用基本不等式求最值得（2）先求导数得，再根据导函数是否变号进行分类讨论：若，导函数不变号，在单调递增；若，导函数先正后负，即先增后减（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： ，其中，再利用导数研究得在上单调递增，即得，解得实数的取值范围.

试题解析：（1），因为在定义域单调递增，所以恒成立

即

而（当且仅当时等号成立），故即为所求.

（2），

①若， ，则在单调递增

②若，令， ， ，

则在单调递增，在单调递减

（3）由题意，须对任意恒成立，

设，

∵， ，∴ ， ，

∴即在上单调递增，

若对任意恒成立，

则应令

综上所述， 即为所求.