Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=2米，AD=1米．
（1）设BM=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于9平方米，求x的取值范围；
（2）若x∈[1，3]（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形相似得到AN与x的关系，然后直接代入矩形面积公式，最后求解一元二次不等式即可得到答案；
（2）由函数f(x)=x+

4

x

+4，x∈[1，3]，的单调性可求得结论．

解答：解：（1）设花坛AMPN的面积为f（x），
由

x

2+x

=

1

AN

，∴AN=

2+x

x

，∴f(x)=

(2+x)2

x

(x＞0)．
要使花坛面积大于9，即

(2+x)2

x

＞9，解得0＜x＜1或x＞4；
（2）由f(x)=

(2+x)2

x

(x＞0)．
则f(x)=x+

4

x

+4，x∈[1，3]，
因为f（x）在[1，2]上递减，在（2，3]上递增，
又f(1)=9，f(3)=

25

3

，
所以当x=1时，f_max（x）=9，
即当AM=3米，AN=3米时，花坛AMPN面积最大为9平方米．

点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了不等式的解法，考查了函数y=x+

k

x

(k＞0)的单调性，是中档题．