Question

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）通过已知条件先探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{c_n}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出fn=

an

n

，及其单调性，通过对a_i分类讨论即可得出结论．

解答：解：（1）当n≥2时，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×

(n-1)n

2

=n²-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{a_n}的通项为an=n2-n．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴对任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{c_n}为常数列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，b5=

1

2

，b6=

1

2

，
且对任意的n∈N^*，有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥0）．
所以数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记fn=

an

n

，则fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=

7i

6

时，对任意的n=6k+i有

ai

n

=

7

6

；
当ai≠

7i

6

时，f_k+1-f_k=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)
=(ai-

7i

6

)

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

，
①若ai＞

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＜f_k，数列{

a6k+i

6k+i

}为单调减数列；
②若ai＜

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＞f_k，数列{

a6k+i

6k+i

}为单调增数列；
综上，当ai=

7i

6

且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，a1=

7

6

符合要求；当i=2时，a2=

7×2

6

=

7

3

符合要求，
此时的a1=a2-b1=

4

3

；
当i=3时，a3=

7×3

6

=

7

2

符合要求，
此时的a2=a3-b2=

3

2

，a1=a2-b1=

1

2

；
当i=4时，a4=

7×4

6

=

14

3

符合要求，
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-

1

3

；
当i=5时，a5=

7×5

6

=

35

6

符合要求，
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-

1

6

；
当i=6时，a6=

7×6

6

=7符合要求，
此时的a₁=a₆-b₅-b₄-b₃-b₂-b₁=

1

2

；
即当a₁∈{

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}时，
数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次．

点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“累加求和”、探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列、数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出fn=

an

n

并探究其单调性是解题的关键．注意分类讨论思想方法的运用，本题较好的考查了学生的探究能力和计算能力，本题有一点的难度．