Question

已知抛物线D的顶点是椭圆Q：

x2

4

+

y2

3

=1的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线D上的两个动点，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|（Ⅰ）求抛物线D的方程及y₁y₂的值；
（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；
（Ⅲ）求直线y=

1

2

x与曲线E的最近距离．

Answer 1

分析：（I）先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，再根据抛物线与椭圆的右焦点相同，得到抛物线的焦点坐标，进而求出p得到抛物线方程；再结合|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 的对应结论

OA

⊥

OB

，以及两点在抛物线上即可求出y₁y₂的值；
（Ⅱ）根据|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 的对应结论

OA

⊥

OB

，设出两直线方程；再联立直线OA与抛物线方程求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，消去变量k，即可得到线段AB中点轨迹E的方程；
（Ⅲ）求出与直线y=

1

2

x平行且与曲线E相切的直线方程，再求两平行线之间的距离即可得到结论．

解答：解：（I）由题意，可设抛物线方程为y²=2px
由a²-b²=4-3=1?c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线方程为y²=4x（2分）
∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线上的两个动点，
所以：y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴（y₁y₂）²=16x₁x₂．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴

(y1y2)2

16

+y1y2=0?y1y2(

y1y2

16

+1)=0
∵y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-16．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|∴

OA

⊥

OB

，
设OA：y=kx，OB：y=-

1

k

x
由

y=kx y2=4x

?A（

4

k2

，

4

k

）．同理可得B（4k²，-4k）
设AB的中点为（x，y），则由

x= 2 k2 +2k 2 y= 2 k -2k

消去k，得y²=2x-8．（10分）
（Ⅲ）设与直线y=

1

2

x平行的直线x-2y+m=0．
由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y²=2x-8相切
由

y2=2x-8 x-2y+m=0

消去x整理得：y²-4y+2m+8=0．
所以△=16-4（2m+8）=0?m=-2
∴直线y=

1

2

x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线y=

1

2

x与曲线E的最近距离．
所以所求距离为：d=

|0-(-2)|

12+(-2)2

=

2 5

5

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，