Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，平面平面，，，O为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据题意先证明平面得，证明平面，即可求证；（2）分别以,,为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角公式求解.

(1)如图,连接，，

在矩形中，，O为的中点，

所以，

因为,

所以为正三角形，

又O为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

所以，

又，

所以平面

又平面，

所以

（2）取的中点,连接,则

所以OA, OB ,OE两两垂直，

如图,以为坐标原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系,

则

设平面OBC的法向量为

则，即

令,

得是平面OBC的一个法向量，

设平面的法向量为

则，即

令, 得平面的一个法向量为

则

由图知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.