Question

【题目】双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中，.

（1）求双曲线的方程；

（2）若是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求时，直线MN的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据双曲线的渐近线方程求得；求得直线的方程，利用原点到直线的距离列方程，由此求得的值，进而求得双曲线方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线方程，写出韦达定理，根据得到，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

（1）设直线，由题意，

，∴，∴双曲线方程为.

（2）由（1）得，，设，，设直线，

∴

∴，整理得①，

∴，，

，.

∵，，，

∴，即，

解得，∴代入①有解，∴.