Question

【题目】已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”.

（1）判断函数，是否是“函数”；

（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）不是“-函数”，是“-函数”；（2），；（3）.

【解析】

（1）先分别假设和为“函数”，根据“函数”的定义进行验证，由此判断出这两个函数是否为“函数”

（2）根据“函数”的定义，恒成立，利用两角和与差的正切公式进行化简，由此列方程，解方程求得的值，进而确定有序实数对.

（3）首先根据“函数”的定义得到，，由此得到，依次求得函数的值域，依次类推，得到，，进而求得时函数的值域，根据求得时函数的值域，从而求得时函数的值域.

（1），若为“-函数”，则存在实数对，使得恒成立，即，最多有两个符合，不恒成立，∴不是“-函数”；

，若为“-函数”，存在实数对，使得，即只需满足，∴存在实数对，即是“-函数”；

（2），即，

即恒成立，∴，，

∴，，，，即有序实数对为，；

（3），，∴，当时，的值域为，当，，当，，当，，……，依此类推，，，∴时，，∵，∴时，，综上，当时，函数的值域为.